空気調和・衛生工学における数学の利用

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　1.3　要素とシステム
　システムは、環境のなかにあって環境条件が整っていることを前提に、入力もしくは外乱を得てその状態量を変え出力を出し、外部に働きかけをするものである。入力には意図せざる入力というニュアンスにより、外乱と称される入力もある。また、システムの出力はシステムの応答と称されることもある。一つのシステムの出力は、別のシステムの入力にもなり得る。一つのシステムが複数のシステムの入力になることもあるであろう。これら個々のシステムが組み合わさって、大きなシステムを形成することもある。この場合、大きなシステムの要素となる部品のシステムをシステムの"要素"と称する。自然界や人が実現した機能のなかで生じる多くの事象は、このような部品のシステムの組合せで説明されることも多い。空気調和・衛生工学や建築環境工学で扱う多くの事象も、この要素の複合したシステムで記述され得る。
　図-3に示すような多層壁面を貫流する熱流を例にして、システムと要素を考えてみる。通常、高温部と低温部を断熱する壁は、熱伝導率の異なる幾つかの層から成り立っている。断熱壁全体を一つのシステムとしてみると、各々の層は要素になる。各々の層で、熱流に関するフーリエの法則が成立している。

　熱流に関するフーリエの法則は、断熱層内各点における熱流が各点における温度こう配に比例して生じることを示している。式(1)中の右辺の－記号は、温度こう配の方向と熱流の方向が逆であり、温度こう配が負の方向に正の熱流が生じることを示している。
　熱伝導率kが位置座標xに関し、定数とみなされるときは比熱pC_p[Ws/m³]を導入し、式(1)の熱流に関するフーリエ則から熱伝導式(2)が得られる。

　式(2)は、微小区間δxにおいてx+δxから流出する熱流とxで流入する熱流の差がその地点の熱量増分(温度増分に比熱を乗じたもの)になることを示している。
　この層Ⅰの要素と層Ⅱの要素が結合してできる熱伝導システムの模式図を図-4に示す。図-4(a)は、境界条件として温度を入力し、境界面の熱流は境界面での制約条件により定まるものとした要素、二つが結合してできるシステムを表し、図-4(b)は、境界条件として熱流を入力し、境界面の温度は境界面の制約条件により定まるものとした要素、二つが結合してできるシステムを表す。
　図-4(a)で、層Ⅰは、境界面温度T₀(t)、T₁(t)を入力とし、境界面熱流q₀(t)、q₁(t)を含む内部の熱流分布q(x, t)、および内部の温度分布T(x,t)を出力する要素システムを形成している。層Ⅱは同じく、境界面温度 T₁(t)、T₂ (t)を入力とし、境界面熱流q₁(t)、q₂(t)を含む内部の熱流分布q(x,ｔ)、および内部の温度分布T(x,t)を出力する要素システムを形成している。層Ⅰと層Ⅱのそれぞれの要素システムは、層Ⅰと層Ⅱの境界面(中継点)の温度T₁(t)を共有して、境界面温度T₀(t)、T₂(t)を入力とし、層Ⅰと層Ⅱの境界面の温度T₁(t)を含む内部の温度分布 T(x, t)、境界面熱流q₀(t)、q₁(t)、q₂(t)を含む内部の熱流分布 q(x,t)を出力とする全体システムを形成している。要素の結合にあたって、層Ⅰと層Ⅱに挟まれた境界面温度T₁ (t)、熱流q₁(t)のは、それぞれの要素システム層1と層Ⅱで同じ値をとるという条件を課されている。図-4(b)のシステムでは、システムへの入力が境界面温度から境界面熱流に変わっているが、出力が内部の熱流および温度であることに変わりはない。図-4(a)、(b)は、入力がそれぞれ温度もしくは熱流のみの要素システムの結合を示したが、一方が温度入力、一方が熱流入力の要素システムが結合し、入力の一方が熱流で他方が温度を入力とする全体システムも存在する。結合面(中継点)での温度および熱流は、両要素で同じ値をとるという条件を課されることは無論同じである。

　式(3)、(4)は、定常状態での熱流が温度差に比例することを示しているが、比熱(熱容量)に関する項は現れていない。定常状態の温度伝導では、比熱の効果すなわち壁内の蓄熱の効果は現れない。壁内の熱容量の効果が陽に現れるのは、非定常熱伝導の場合である。式(3)、(4)は、境界面での温度 T₁、T₀および T₂、T₁を与えると要素システムの内部の温度分布(定常状態では直線分布)および熱流 (定常状態では一定値)が与えられることを示している。
　この層Ⅰと層Ⅱの中継点を通過する熱流q₁は、層Ⅰと層Ⅱで等しく、中継点での温度T₁も層Ⅰと層Ⅱで等しいので、

　ただし式(8)は、式(6)、(7)から T₁を消去して求めている。
　式(9)は、層Ⅰと層Ⅱの合成されたシステムにおいて境界面での温度T₂、T₀により境界面での熱流q₀、q₂が合成された熱抵抗(x₁+x₂)/kゐにより与えられることを示している。ただし、合成された熱抵抗（ｘ₁+x₂)/kは、式(8)、 (9)の比較より式(10)で与えられている。また、内部の温度分布(定常状態では直線分布)および熱流(定常状態では一定値)は、それぞれ要素システムにおける熱流に関する式(3)、(4)で与えられている。合成されたシステムは、合成されたシステムの境界条件を入力として、合成されたシステム全体における内部の温度分布および熱流分布を出力するシステムを形成している。
　上述の例は、二つのみの要素から成り立つ単純なシステムであり、その解析も定常を仮定した極めて単純なものであった。しかし、要素システムの構造と入力条件が明らかになっていれば、その要素システムを結合した合成システムの構造も同様に明らかであり、合成システムにおける適切な入力条件を与えれば、対応する出力や内部の状態量が得られる。合成システムにおける要素システムの結合は、中継点での変数の値が結合する要素間で共通するという極めてあたりまえで単純な原理に基づいて行われる。

　1.4　キルヒホッフの法則
　システムの状態を表す変数のうち、上述の熱流に相当する輸送される量を流通量、温度に相当するものを位差量ということがある。
　図-3に示した複層壁の伝熱システムでの要素の結合は、結合(中継)点で二つの要素のみが関係していた。しかし、一般には電気回路や流体が流れる管路網のように一つの中継点には、三つ、四つと三つ以上の要素が結合する場合がある。三つ以上の要素が結合する場合、流通量に関しては、中継点で各要素の値が単純に共有されるわけではない。流通量には、値のほかに方向があり、要素からの流出と流入がある。前述の例では、層Ⅰと層Ⅱの中継点での熱流q₁に関し、層Ⅰに関しては流出を層Ⅱに関しては流入を仮定していた。中継点がこのほかの要素とも結合し三つ以上になっていると各要素から中継点に流出、流入する流通量は単純に等しくはならない。
　流通量は、一般にその保存別により要素と要素をつなぐ中継点で生成や消滅が生じることがなければ、中継点に流入する量の合計と中継点から流出する量の合計は常に等しくなる。図‐3の例では、層Ⅰからの中継点に流入する熱流と層Ⅱへ流出する熱流が一致するものとした。これをキルヒホッフの第一法則という。位差量は、中継点につながるすべての要素に関して同じ値を取る。図-3の例では、層Ⅰと層Ⅱの中継点での温度は層Ⅰと層Ⅱで同じ値をとる。中継点で結ばれた要素を経て、次の中継点に到達するたびに各要素の位差量は単純に加算される。中継点で結ばれた要素のつながりが閉じた回路を形成する場合、回路に沿って1周する位差量の総和はゼロとなる。これは、キルヒホッフの第二法則という。構造物の力による変位、振動を扱う場合などでは、力のつり合い条件がキルヒホッフの第一法則に相当し、変異の連続条件がキルヒホッフの第二法則に相当する。
　キルヒホッフの法則は、ポテンシャル差(位差量)で要素内の流通量が定まる、電気回路、伝熱回路、管路を流れる液体や気体の輸送量解析の基礎となる。電気回路は、抵抗やコンデンサ、コイルなどの要素に関して、その空間的広がりを考慮する必要はあまりない。一般に、抵抗やコンデンサなどの内部におけるポテンシャル(電圧)分布や電流分布に興味はなく、これらの要素が結合された回路内の電圧や電流の変化に興味がある。これら要素を導線で結んだシステムは、要素の1点に状態量を集約できる集中系のシステムとなる。熱伝導は、特に非定常熱伝導では材料内で温度分布、熱流分布が生じ、同一の材料内である熱伝導要素のなかでも位置の違いによる分布が生じ、非定常熱伝導ではこの効果も興味の的となる。熱伝導のように、要素が空間的広がりを持っていることを無視し得ないシステムは、分布系のシステムとなる。しかし、熱伝導のような分布系のシステムも状態量を要素の1点に集中させた集中系のシステムとして考察することが可能である。熱伝導や管路網を流れる流体解析で、電気回路内の電流と電圧の解析のように要素の効果を1点に集約し、集中系に置き換えられて解析されることも多い。
　1.5 ブラックボックス
　複雑なシステムで、個々の要素の特性とその結合の状態がわからないものでも、入力に対する出力を実測してその特性を明らかにすれば、そのシステムを実用に供することができる場合がある。あるシステムに関し、その内部構造に触れず、入力を出力に変換する特性のみに注目してみることを、特定の入力、出力特性を待ったブラックボックスとしてみなすという。抽象化されたブラックボックスを要素とするさらに人きなシステムの特性を論議することが、工学ではよく行われる。

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